Comment peut-on représenter les outils d’analyse mathématiques à l’aide de la programmation fonctionnelle?

« Comment peut-on représenter les outils d’analyse mathématiques à l’aide de la programmation fonctionnelle? 1) représentation d’une fonction dérivée a) définition d’une fonction dérivée Attaquons-nous d’abord à la représentation d’une fonction dérivée.

Pour cela, on doit revenir à la définition d’un nombre dérivé.

Et bien, un nombre dérivé d’une fonction en un réel, tel que la définit Weierstrass, se définit par la limite lorsque h tend vers 0 du taux d’accroissement de cette même fonction en ce même réel.

En faisant varier ce réel sur l’ensemble ou c’est possible, où l’on peut définir cette limite, bah on peut définir une fonction dérivée, qui associe a chaque réel, son nombre dérivé.

que l’on va noter f’(x) = lim t,f,h,(x) b) Implémentation Bon, maintenant qu’on sait ce qui définit une fonction dérivée, il est temps de l’implémenter, de la représenter à l’aide d’un programme.

Bon, bah pour cela on doit commencer par définir le taux de variations.

On crée alors une une fonction taux de variation, qui prend en argument f, qui va être la fonction dont on calcule le taux de variations et donc dont on cherche la fonction dérivée, et h, qui représente le tout petit changement, l’incrément, la variation qui est étudiée dans le taux de variation.

On décide alors que cette fonction renvoie une fonction anonyme définie par lambda, ce qui permet de définir une fonction en une ligne, qui a x associe le taux de variation. On peut donc maintenant définir un taux de variation pour une fonction.

Il ne reste plus qu’à faire tendre h vers 0.

Et bien c’est là qu’on se heurte à un premier problème. c) le calcul infinitésimal sur un ordinateur En terminale, pendant les cours de spécialité maths, on nous apprend à calculer des limites de manière abstraite.

On explique pas de manière concrète de définir une limite de fonctions. Le problème, c'est que les ordinateurs, eux, ne peuvent pas faire de calculs abstraits comme nous.

Par exemple, quand on veut prendre la limite d'une expression quand \( x \) approche de 0, on étudie ce qui se passe quand \( x \) devient de plus en plus petit, presque égal à 0.

Cela revient à manipuler des nombres infiniment petits. Mais un ordinateur est une machine finie, c'est-à-dire qu'il a une capacité limitée.

Il est composé de milliards de transistors (petites pièces électroniques) qui peuvent être allumés ou éteints pour représenter des nombres et des lettres en binaire (un langage composé de 0 et de 1).

Malgré cela, un ordinateur ne peut pas manipuler l'infini car il est limité par sa construction physique. Même si les ordinateurs sont très puissants, ils ne peuvent pas directement travailler avec des concepts infinis comme les limites mathématiques. Ce n’est pas pour autant que je vais m’arrêter là.

En solution temporaire, on va décider d’utiliser un nombre très petit, par exemple 10(-10), qui va être suffisant pour nous donner une précision satisfaisante.

On ne sera pas sur le nombre dérivé exacte mais sur une approximation qui saura être utile dans la majorité des cas. Conclusion: On a donc une fonction python qui permet de définir une fonction dérivée d’une fonction mathématiques.

Par exemple, on pourrait appeler et affecter à une variable cette fonction en entrant en paramètres la fonction carré et 10(-10) en incrément.

En l’appelant par exemple pour 2, on retombe bel est bien sur environ 4,0074676. Maintenant qu’on a notre dérivé, on peut s’intéresser à l’intégrale.

On va procéder au même raisonnement qu’avec les dérivés, en essayant d’abord de poser une définition de l’intégrale puis en implémentant. 2) représentation d’une intégrale a) définition d’une intégrale Par définition, une intégrale correspond à l’Aire entre : - la courbe d’une fonction - l’axe des abscisses - deux droites vertical, qui désignent les bornes de l’intégrales Il faudrait donc une méthode pour évaluer cette aire sous la courbe.

Alors, on a vu en cours plusieurs manières d’établir cette aire, et il existe différente manière d’implémenter une intégrale sous python.

J’ai personnellement décidé d’opter pour la méthode des trapèzes, qui est simple à expliquer, à implémenter et peut être suffisamment précise, en fonction d’un paramètres que je vais expliquer plus tard. Mais du coup, l’idée est de représenter sous la courbe un trapèze rectangle dont deux sommets se situent sur la courbe et les deux autres sommets sont des abscisses. l’avantage est qu’on connaît la formule de l’aire d’un trapèze rectangle : A = h x (B + b) /2 fais du.... »