Comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs ?

« Comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs ? Les échecs sont un jeu de stratégie mondialement connu qui consiste à faire tomber le roi de son adversaire.

Ce jeu fut inventé en Inde au VIème siècle, il s’est répandu en Europe durant le Moyen-Âge et devint réellement populaire au XIIème siècle.

Depuis, des centaines d’années se sont écoulées et des millions de personnes y jouent quotidiennement chez eux ou en club. Comme pour le foot, un débat existe quant à l’existence d’un éventuel meilleur joueur, nous allons donc voir comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs ? 1) Le système élo et mise en situation Le système Elo permet de classer différents joueurs, il fut inventé par Arpad Elo (1903-1992), professeur de physique et joueur d’échecs hongrois.

Ce système permet de déterminer les chances de victoire d’un joueur par rapport à l’autre en comparant leur nombre de points ainsi que de les classer en fonction des résultats de leur match. Intéressons-nous d’abord à l’élaboration de ce système pour pouvoir ensuite essayer de prévoir les résultats d’un match entre Magnus Carlsen avec 2833 points Elo et Hikaru Nakamura avec 2802 points Elo respectivement premier et second au classement mondial. Système et formules : Lorsqu’un jeu oppose les joueurs A et B, nous pouvons connaître plusieurs choses telle que la probabilité qu’un joueur gagne contre un autre.

Cette dernière permet également de calculer le rapport de force noté X, qui se traduit par « combien de fois A et plus fort que B ». Ce dernier se calcule par X(A,B) = P(A)/P(B) , P(A) et P(B) étant les probabilités respectives d’un joueur de gagner face à l’autre.

Par exemple, si A gagne 75% du temps, X vaut 0.75/0.25 soit 3.

A est donc 3 fois plus fort que B. On peut à l’inverse calculer les chances de gagner face à un adversaire en connaissant le rapport de force X (voir feuille) On pourrait en faire un système de classement en respectant ces relations, mais ce dernier a plusieurs problèmes à cause de la proportionnalité : (définir pour les questions) Premièrement, les joueurs les plus forts de tous auraient un nombre de points gigantesque, si grand qu’on ne se rendrait pas compte de ce que cela représente, il s’agit du même problème qu’avec la force des séismes ou l’intensité sonore, d’où l’utilisation de l’échelle de Richter ou du niveau d’intensité sonore en décibels. A l’inverse, les joueurs les plus faibles auraient un nombre de point qui tend vers 0 La compréhension d’un tel classement serait trop compliquée et non évidente. Pour y remédier : on applique une fonction que l’on nomme f afin de déterminer la différence de nombre de points entre deux joueurs pour rendre le système plus parlant, cette fonction doit respecter les liens entre les joueurs ainsi que la relation suivante : D(A ;B) = f(P(A/B)) Enfin, on veut que cette formule soit une fonction qui dépend de la probabilité de victoire, elle doit donc être additive.

En effet, la différence de points Elo entre les joueurs A et C doit être égale à la somme des différences de points Elo entre A et B d’une part.... »