Comment calculer la valeur approchée d'une intégrale à l'aide d'un algorithme ?

« Grand Oral Mathématiques Comment calculer la valeur approchée d’une intégrale à l’aide d’un algorithme ? Introduction Les intégrales jouent un rôle fondamental dans les mathématiques.

Une intégrale est la valeur de l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses et la courbe de la fonction.

Leur utilité s’étend dans de nombreux domaines, notamment pour des calculs d’aires et de probabilité, ainsi que dans la création de modèles physiques comme la loi de gravitation universelle de Newton.

Elles trouvent aussi des utilisations dans des domaines tels que la télécommunication, le traitement d’images et du son, ou encore en finance pour calculer notamment si un projet peut atteindre un certain taux de rendement. Suivant la spécialité NSI et mathématiques, je me suis penché sur le concept d’intégrales et notamment sur les différents algorithmes de calcul de celles-ci. Cependant, il n’est pas toujours possible de trouver leur valeur exacte de manière analytique.

C’est pour cela que l’on a souvent recours à des méthodes numériques utilisant des algorithmes plus ou moins complexes d’approximation. Je vais donc vous présenter comment calculer la valeur approchée d’une intégrale à l’aide d’un algorithme. A) Point historique Le concept d’intégrales en tant que calcul d’aires, a été introduit au 17e siècle par les philosophe et mathématiciens Leibniz et Newton, puis affiné par différents mathématiciens, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. B) Calculer analytiquement une intégrale Pour calculer analytiquement une intégrale sur un intervalle [a ; b], il faut d’abord trouver une primitive de la fonction.

En mathématiques, une primitive est une autre fonction dont la dérivée est égale à la fonction d’origine.

La dérivée d’une fonction mesure le taux de variation de cette fonction.

C’est-àdire qu’elle est égale à la pente de la tangente en chaque point de la courbe.

Il reste ensuite seulement à soustraire la valeur de la primitive de a à la valeur de la primitive de b. Cependant, si l’on cherche à déterminer l’intégrale d’une fonction du type : dérivée d’une fonction fois une autre fonction, il faut procéder à une intégration par parties.

Le calcul sera alors un peu plus complexe et plus long. Cependant, il n’est pas toujours possible de trouver la primitive d’une fonction, c’est pour cela que l’on a recours à des méthodes d’approximation. II- Méthodes de calcul d’une intégrale Il existe plusieurs méthodes pour calculer à l’aide d’un algorithme des intégrales, qui présentent chacune des défauts et des avantages. A) La méthode la plus courante est celle des rectangles.

Pour calculer l’intégrale de a à b d’une fonction f, il faut commencer par diviser l’intervalle [a ; b] en n intervalles de taille (dx qui a donc pour valeur : •(b-a) / n ) On forme ensuite des rectangles entre les abscisses x et x + dx.

Ceux-ci peuvent être faits de 3 manières différentes.

La première est de les construire d’une hauteur f(x), c’est-à-dire que les sommets en haut à gauche de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe.

F(x) représentant ici l’image de x par la fonction f.

La deuxième est de les construire d’une hauteur f(x + dx), donc cette fois ci ce sont les sommets en haut à droite du rectangle qui correspondent à des points de la courbe.

Enfin, la dernière méthode est de les faire d’une hauteur f(x+dx/2).

Les milieux des cotés hauts des rectangles correspondent alors à des points de la courbe. Pour calculer la valeur approchée de l’intégrale, il suffit d’additionner les aires de chaque rectangle formé en choisissant l’une de ces 3 méthodes.

Pour rappel, l’air d’un rectangle est donné par la formule : • Longueur * largeur, En termes de précision de calcul, les 3 manières de former les rectangles s’équivalent. B) Une méthode plus précise est de former des trapèzes au lieu des rectangles.

On procède de même en divisant l’intervalle [a; b] en n intervalles de taille dx.

Ensuite, pour chaque intervalle on construit des trapèzes dont les deux sommets hauts correspondent à deux à deux points de la courbe, donc les images.... »