comment a-t-on choisi le format a4

« 1Quelles conditions pour que ça soit proportionnel ? 2Une construction géométrique modélisée par une suite Introduction : pour les imprimeurs, y a des conditions pratiques de fabrication de feuilles : - pour connaître la surface de feuille nécessaire le plus simple est de commencer à partir de 1m² - il est plus pratique de fabriquer de la feuille de la taille plus petite à partir de la feuille la plus grande, par exemple en les coupant en deux, et que les proportions restent les mêmes pour que l’usage soit confortable - le problème mathématique qui se pose est alors le suivant, quelle proportion doit avoir une feuille d’une surface de 1m² pour que sa moitié ait la même proportion L’objectif est de trouver le rapport entre la longueur et la largeur de la feuille qui reste le même une fois la feuille coupée en deux.

Pour ce faire, une des méthodes se base sur les diagonales de feuilles de tailles successive. Prenons par exemple un rectangle ABCD, de largeur l et de longueur L, avec I milieu de BC, et relions AI et BD. BD est alors la diagonale du premier rectangle, et AI la diagonale du rectangle qu’on peut former en découpant le premier en deux.

Ainsi, les triangles ABI et BCD doivent être des triangles semblables pour que les rectangles soient proportionnels.

Donc ils ont les mêmes mesures d’angles, donc on peut les noter alpha et beta, de plus, les triangles étant rectangles, alpha+beta = 90, ils sont complémentaires.

Donc, l’angle DBA est égal à beta grâce aux angles complémentaires, ainsi, le triangle formé par le point d’intersection de BD et AI et les points A et B est rectangle.

Ainsi, on peut en déduire que pour que les rectangles soient proportionnels, il faut que les diagonales soient perpendiculaires. Il faut alors chercher à quelles conditions l’angle x est droit.

Il faut alors que les deux droites soient perpendiculaires et donc que le produit scalaire des vecteurs AI et BD soit égal à 0.

Comme nous n’avons pas de coordonnées, nous allons utiliser la relation de Schaal en décomposant les vecteurs. Voir feuille Donc la feuille de base que les imprimeurs doivent acheter doit faire 1m² pour des besoins pratiques, quelles dimensions doit-elle avoir pour faire 1m² et vérifier L=[2]l En quoi les mathématiques peuvent-ils nous aider à choisir des proportions pratiques pour fabriquer une feuille de papier ? Montrer par récurrence que si c’est vrai pour P(k) c’est forcément vrai pour P(k+1) ? Et si on voulait pouvoir couper la feuille en 3 et que ça garde ses dimensions ? Pourquoi la feuille a4 fait cette dimension Comment les suites peuvent-elle nous aider à calculer l’aire de cette construction géométrique spécifique Pourquoi la feuille a5 est la moitié de la feuille a4 En quoi les dimensions standards des feuilles de la série a sont-elles à la fois pratique pour les imprimeurs et ont des propriétés particulières ? Les formats A de norme internationale sont largement utilisé dans le monde bien qu’il existe énormément d’autres formats de papier.

Les dimensions de ces feuilles A ont été choisis comme norme après la Révolution française dans un objectif d’harmoniser les documents administratifs, mais aussi car ce format est pratique pour les fabriquant de papier.

Il est alors possible de se demander en quoi les mathématiques peuvent-ils nous aider à choisir des proportions pratiques pour fabriquer une feuille de papier.

En effet, il est pratique de pouvoir couper les feuilles en deux sans perte, et en gardant.... »