chapitre fonctions trigonométriques spé math terminale

« Chapitre 13 Dans le livre pages 84… FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES : FONCTION SINUS ET FONCTION COSINUS I Fonction sinus et fonction cosinus 1) Définitions : La fonction qui, à tout réel x, associe le nombre cosx, est appelée fonction cosinus : cos : x↦ cosx La fonction qui, à tout réel x, associe le nombre sinx, est appelée fonction sinus : sin : x↦ sinx Ces deux fonctions sont définies sur . 2) Propriétés : a) Parité On a vu en 1ère que deux nombres opposés ont des sinus opposés, et des cosinus égaux : D’où la propriété suivante, appelée parité des fonctions sinus et cosinus : Pour tout nombre réel x : sin( x) sinx On dit que la fonction sinus est IMPAIRE. Conséquence graphique : La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine O du repère. Pour tout nombre réel x : cos( x) cosx On dit que la fonction cosinus est PAIRE. 1 Conséquence graphique : La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exemple 1 : étude de la parité d’une fonction a) Soit la fonction f(x) 1 cos(x) définie sur .

Montrer que f est paire.  On calcule pour tout réel x le nombre f( x) : f(x) 1 cos(x) donc f( x) 1 cos( x). Or pour tout réel x, on sait que cos( x) Pour tout réel x, on a f(x) cos(x), donc ici f( x) 1 cos(x), c’est-à-dire f( x) f(x). f(x), donc la fonction f est paire (et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). b) Soit la fonction g(x) x sin(x) définie sur .

Etudier la parité de g.  On calcule pour tout réel x le nombre g( x) : g(x) x sin(x) donc g(-x) x sin(-x). Or pour tout réel x on sait que sin( x) C’est-à-dire aussi : g(-x) sin(x), donc ici g(-x) x sin(x)), soit : g( x) x sin(x) g(x). Alors la fonction g est impaire (et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère). b) Périodicité On a déjà vu en 1ère que lorsqu’on se déplace autour du cercle trigonométrique, si on ajoute 2π, on revient au même point. D’où la propriété suivante appelée périodicité des fonctions sinus et cosinus : Pour tout nombre réel x : sin(x 2π) sinx cos(x 2π) cosx On dit que les fonctions sinus et cosinus sont PERIODIQUES DE PERIODE 2π. Conséquence graphique : Il suffit d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur 2π, on obtient la courbe sur par translation de vecteur 2kπ i , k ∈ . Exemple 2 : étude de la périodicité d’une fonction 3 sin (2x) définie sur .

Montrer que f est périodique de période π. Soit la fonction f(x)  On calcule pour tout réel x le nombre f(x+π), et on vérifie que l’on obtient f(x) : f(x) 3 sin (2x) donc f(x c’est-à-dire : f(x π) π) 3 sin (2x 3 sin (2(x π)) π) Or la fonction sinus est périodique de période 2π, donc pour tout réel X, on a sin (X+2π) = sin (X), Alors ici sin (2x π) sin (2x) 2 Ainsi f(x π) 3 sin (2x), c’est-à-dire f(x π) f(x) : la fonction f est périodique de période π. (« Elle se répète tous les π »). II La fonction sinus 1) Dérivabilité de la fonction sinus Propriété admise : La fonction sinus est dérivable sur , et pour tout nombre réel x : (sin(x))’ cos (x) La dérivée de la fonction sinus est égale à la fonction cosinus..... »