Chapitre 3 : Monotonie et convergence des suites

« 1 Spécialité - Chapitre 3 : Monotonie et convergence des suites – Fred BURTIN Chapitre 3 : Monotonie et convergence des suites 1.

Suites monotones, majorées, minorées et bornées Définition s : Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ, définie à partir d’un certain rang �0∈ℕ.

Une suite (��) est croissante si ∀�∈ℕ,��+1≥ ��.

Une suite (��) est décroissante si ∀�∈ℕ,��+1≤ ��.

Une suite (��) est monotone lors qu’elle est croissante ou décroissante .

Une suite (��) est constante si ∀�∈ℕ,��+1= ��.

Une suite (��) est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang. Une suite (��) est majorée s’il existe � ∈ℝ tel que ∀�∈ℕ,��≤ �.

� est un majorant de la suite (��).

Une suite (��) est minorée s’il existe � ∈ℝ tel que ∀�∈ℕ,��≥ �.

� est un min orant de la suite (��).

Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée c'est -à-dire s’il existe � ∈ℝ et � ∈ℝ tel s que ∀�∈ℕ,� ≤ ��≤ �.

2.

Techniques d’étude de la monotonie d’une suite Exemple 1 : étude du signe de ��+1− �� ∀�∈ℕ,��= 1− 1 �+1 ��+1− ��= 1− 1 �+ 2− (1− 1 �+ 1)= 1 �+ 1− 1 �+ 2= �+ 2 (�+ 1)(�+ 2)− �+ 1 (�+ 1)(�+ 2) ��+1− ��= 1 (�+ 1)(�+ 2) ∀�∈ℕ,��+1− ��> 0.

La suite (��) est donc croissante. Théorème : Soit (��) une suite à termes strictement positifs. Si ∀�∈ℕ,����+1 ���� ≥ 1, alors la suite (��) est croissante. Si ∀�∈ℕ,0< ����+1 ���� ≤ 1, alors la suite (��) est dé croissante. Exemple 2 : ∀�∈ℕ∗,��= 5� �.

Cette suite est à termes strictement positifs. ��+1 �� = 5�+1 �+ 1 5� � = 5�+1 �+ 1× � 5�= 5�+1−�× � �+ 1= 5� �+ 1.

∀�∈ℕ∗,5�> �+ 1, donc ∀�∈ℕ∗,����+1 ���� > 1.

La suite (��) est donc croissante .

Théorème : Soit (��) la suite définie par ��= �(�) où � est une fonction définie sur un intervalle du type []�;+∞[ (�∈ℝ+).

Si la fonction � est monotone sur cet intervalle, alors la suite (��) est monotone sur [��(�)+ 1;+∞[ et possède le même sens de variation que �.

Exemple 3 : ��= 2�2+ 1 �2+ 5.. »