Chapitre 14 : Équations différentielles d’ordre 1

« Chapitre 14 : Équations différentielles d’ordre 1 Rappel : Une équation différentielle est une équation liant une fonction avec sa dérivée (ou ses dérivées). Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions qui vérifient l’égalité de l’équation. Notation : Dans une équation différentielle, on notera avec la lettre « y » la fonction et « y′ » sa dérivée première. I - Résolution d’une équation différentielle d’ordre 1 sans second membre Définition 1 : On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation pouvant se mettre sous la forme ay′ + y = c(t) où a, b sont des nombres réels (a est non nul) et c(t) est une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ et Exemple 2 : y′ + 3y = 5t avec t ∈ ]0; + ∞[ est une équation différentielle linéaire du premier ordre tel que pour tout t ∈ ]0; + ∞[, a = 1 , b = 3 et c(t) = 5t. On lui associe son équation sans second membre qui est y′ + 3y = 0. Théorème 3 : Si a et b sont deux réels et si a n'est pas nul, alors l’ensemble des solutions de l’équation différentielle : ay′ + by = 0 est l’ensemble des fonctions y telles que pour tout t b ∈ I, y(t) = ke − a t où k est un réel quelconque. Démonstration 4 : Nous allons démontrer l’existence de ces solutions. b b =k× − e − a t donc : ( a) b b b b b ay′ + by = a × k × − e − a t + b × ke − a t = − k × be − a t + b × ke − a t = 0 ( a) On a y′(t) Donc ces fonctions sont bien solution de cette équation différencielle. 1 sur 6 Nous allons maintenant montrer l'unicité de ces solutions : On considère une fonction g définie et dérivable sur ℝ et solution de l’équation différentielle. b Soit g la fonction définie sur ℝ par : h(t) = g(t) × e a t b h est dérivable sur ℝ de dérivée : h′(t) = g′(t) × e a t + b b g(t)e a t. a b b = e a t × g′(t) + g(t) .

Or comme g est solution de l’équation ( ) a b différentielle : ag′(t) + bg(t) = 0 c’est-à-dire g′(t) + g(t) = 0. a La fonction h est donc telle que h′(t) = 0 donc h(t) = k (la primitive d'une Soit : h′(t) fonction nulle est une fonction constante). b On a donc : h(x) = k ⟺ g(t)e a t = k b ⟺ g(t) = k × e − a t. Exemple 5 : On considère l’équation différentielle y′ + 2y On a a = 1 et b = 2. = 0 à résoudre sur ℝ. b = ke − a t = ke −2t avec k ∈ ℝ. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions y(t) Donc les solutions sont les fonctions y(t) 2 = ke − 1 t Exemple - Exercice 6 : 1 - Résoudre sur ℝ l’équation différentielle 2y′ − 3y = 0 2 - Résoudre sur ]0; + ∞[, l’équation différentielle 3y′ + 2y =0 3 - Résoudre sur ]0; + ∞[, l’équation différentielle 5y′ − y = 0 1 - On considère l’équation différentielle 2y′ − 3y On a a = 2 et b = − 3. = 0 à résoudre sur ℝ. b = ke − a t = ke 1,5t avec k ∈ ℝ. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions y(t) Donc les solutions sont les fonctions y(t) = ke − −3 2 t 2 - On considère l’équation différentielle 3y′ + 2y On a a = 3 et b = 2. = 0 à résoudre sur ℝ. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions y(t) Donc les solutions sont les fonctions y(t) 2 = ke − 3 t avec k ∈ ℝ. 3 - On considère l’équation différentielle 5y′ − y On a a = 5 et b = − 1. = 0 à résoudre sur ℝ. = ke − −1 5 t b = ke − a t =.... »