Calculer la longueur d'un materiau enroulé

« L’autre jour en me baladant au supermarché, j’ai voulu acheter une rouleau de papier cadeau et l’emballage indiquait que celui-ci mesurait ……… de long.

Et donc je me suis demandé si je devais déplier tout le rouleau et le mesurer ou bien s’il existait une méthode mathématique pour vérifier cette longueur. Aujourd’hui je vais donc vous apprendre à calculer la longueur d’un matériau enroulé à l’aide des mathématiques. Tout d’abord le support sur lequel est entouré le matériau s’appelle le mandrin, on note r son rayon.

On pose aussi e l’épaisseur du matériau , n le nombre de tours autour du mandrin et R le rayon total du rouleau en comptant l’épaisseur du dernier tour.

Pour calculer l’épaisseur d’un rouleau nous allons procéder par deux modélisation différentes.

La première suppose que chaque tour du rouleau est un cercle parfait, le rayon de ce cercle est celui du début du tour et ne prend pas en compte l’épaisseur du matériau. Le premier tour est celui le plus proche du mandrin, le rayon de ce cercle est r et son périmètre vaut l1=2πr.

Le deuxième tour va ainsi avoir un rayon= r+e.

Son périmètre vaudra l2=2π(r+e).

Maintenant on cherche à calculer le périmètre du k-ième tour.

Le rayon de ce cercle est r+(k-1)e et son périmètre est lk= 2π (r+ (k-1) e) On cherche alors à calculer la longueur totale du matériau notée L.

Il suffit d’additionner chaque tour donc on a : L= voir brouillon.

On reconnaît la somme des premier entiers et on utilise la formule.

On obtient L=…… ne correspond à n tours de e épaisseur, cela correspond à l’épaisseur du matériau enroulé qui peut aussi être retrouvée par R-r.

On remplace donc ne par R-r et n par R-r/e.

On obtient L=…….. Passons maintenant à la 2ème modélisation.

Celle-ci est plus réaliste car vous le savez le rayon d’un tour du rouleau augmente entre le début du tour et la.... »