CALCUL INTÉGRAL
Publié le 06/07/2020
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« Pour calculer l'aire d'un carré, d'un cercle, et de quelques figures simples, on dispose de formules. S'il s'agit de déterminer l'aire d'un domaine au contour plus complexe, on peut avoir recours au calcul intégral. Une courbe exécutée avec soin et exactitude est un point Important dans une copie. Une calculatrice programmable (dont l'usage est recommandé au baccalauréat) permet de calculer de façon efficace un nombre suffisant de points pour obtenir une « belle courbe ». De plus, II faut bien placer les éléments caractéristiques (Intersections avec les axes, asymptotes, tangentes « horizontales Le placement des axes dans la feuille ne doit pas non plus être le fait du hasard, mals le résultat de l'examen des valeurs prises, et éventuellement d'une esquisse au brouillon. Avec un entrainement suffisant, chacun doit parvenir à réaliser en un temps raisonnable des graphiques soignés. ...»
«
QUESTIONS
DE COURS
CALCUL INTÉGRAL
Pour calculer l'aire d'un carré, d'un cercle, et de quelques figures
simples, on dispose de formules.
S'il s'agit de déterminer l'aire d'un
• domaine au contour plus complexe, on peut avoir recours au calcul
•
; intégral.
·- ..
·•
.c ..
"
� Soit f une fo�ction définie sur un intervalle /, on dit que Fest
une primitive de f sur / si et seulement si :
�ur tout xde /, F' (x) = f (x).
Toutes les primitives de f sur / sont les fonctions G telles
que : pour tout x de /, G(x) =
F(x) +
C,
où C est un réel quelconque.
(Ort traduit cela en disant que
deux primitives d'une même fonction sur un intervalle
diffèrent d'une constante.)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des
primitives sur cet intervalle.
flx) f{x)
0 C
aE R a ax
+
C
( 1
) X" ,...
1
- +C
n + 1
1 _.!_
+ C
il
1 2.,P+ C
..p
a E'IR, b E IR a.u+b.v a.U+b.V
(1) tl'.
u' u"
·
1
- +C
n + 1
u' _.!_
+ C
ïl u
u' 2,./ü+C
..[ü
Dans ce tableau, C désig�C un réel quelconque.
Remarques
121
xEIR"
x E JO,+ oo(
U' -u,V' -r
(3)
u* 0
u> 0 (
1
l n désigne un nombre entier relatif différent de -1, ou un exposant de la
tarme1, où p est un e�oNCi relatif (Voir exemple ci-dessous) .
121 Si n est un entier naturel non �v x est un réel quelconque ; si n est un entier
négatif, x est élément de R"; dans tous les autres cas, x est éléme�o de JO.
+ oo(.
(3) Si n est un entier naturel non �v
u est une fonction dérivable à valeurs réelles ;
silon, on a les mêmes restrictio�l sur les valeurs prises per u qu'en 12
1 sur les valeurs
de X.
�]c Exemple d'utilisation de la formule (1)
Soit à déterminer une primitive de la fonction f définie par :
1
f(x)= ✓-·
x2 X
On a D, = JO,+ oo [, et, pour tout x de D,,
1 5
f (X)= X-2
, X - 2
= X - 2
.
Une primitive de f sur D, est donc définie par:
5
-- +1
3
X 2
2 -2 2
F(x) =
-�
+ 1 = -
3 x
= -
3 x .Jx.
2
Soit f
une fonction continue sur un intervalle /, a, b et c des
réels appartenant à /, a et p des réels quelconques, et Fune
primitive de
f sur
/:
L b
f (x)
dx
= [F( x
)]� = F(
b)
- F(
a)
;
L a
f(x)dx= O;J:
f(x)dx= -f: f(x)d
x;
J:-t(x)d x=
I: t(x)dx
+ J: l(x)d
,;.
»
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