Bilan enseignement scientifique: Mathématiques – QCM (40 points) Correction

« Mathématiques – QCM (40 points) Correction Première partie – Fonctions Exercice I Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 1). I-ALa fonction 𝑓 est définie sur ℝ. Vrai. La quantité 𝒙𝟐 + 𝟏 est strictement positive pour tout nombre réel 𝒙. I-B𝑓′(0) est égal à 1. Faux. 𝟐𝒙 Pour tout nombre réel 𝒙, 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝟐+𝟏.

Donc 𝒇′ (𝟎) = 𝟎. I-C- I-D- Pour tout 𝑥 strictement négatif, 𝑓(𝑥) est strictement négatif. Faux. Pour 𝒙 = −𝟏, 𝒇(−𝟏) = 𝐥𝐧𝟐 et 𝐥𝐧𝟐 > 𝟎 car 𝟐 > 𝟏. lim 𝑓(𝑥) = +∞. 𝑥 →−∞ Vrai. 𝐥𝐢𝐦 (𝒙𝟐 + 𝟏) = +∞ et 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧(𝑿) = +∞ donc 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = +∞. 𝒙 →−∞ 𝑿 →+∞ 𝒙 →−∞ Exercice II Soient 𝑔 une fonction définie et dérivable sur ℝ et 𝐶𝑔 sa courbe représentative dans un repère orthonormé. II-ASi 𝑔(1) = 0, alors 𝐶𝑔 coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (1 ; 0). Faux. Si 𝒈(𝟏) = 𝟎, alors 𝑪𝒈 coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (𝟏 ; 𝟎). II-BSi 𝑔(1) = 2 et 𝑔′(1) = 3, alors la courbe 𝐶𝑔 admet une tangente d’équation 𝑦 = 3𝑥 − 1 au point de coordonnées (1 ; 2). Vrai. L’équation réduite de la tangente à 𝑪𝒈 au point de coordonnées (𝟏 ; 𝟐) est donnée par la formule : 𝒚 = 𝒈′ (𝟏)(𝒙 − 𝟏) + 𝒈(𝟏) ce qui donne 𝒚 = 𝟑(𝒙 − 𝟏) + 𝟐 soit 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏. II-CSi 𝑔 est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde est positive sur ℝ, alors la courbe 𝐶𝑔 est en dessous de chacune de ses tangentes. Faux. Si 𝒈 est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde est positive sur ℝ, cela signifie que la fonction 𝒈 est convexe sur ℝ, et donc la courbe 𝑪𝒈 est au-dessus de chacune de ses tangentes. Exercice III III-APour tout nombre réel 𝑥, 𝑒 3𝑥+1 = 𝑒 3𝑥 + 𝑒. Faux. Pour 𝒙 = 𝟎, 𝒆𝟑𝒙+𝟏 = 𝒆 et 𝒆𝟑𝒙 × 𝒆 = 𝒆𝟐 et 𝒆𝟐 ≠ 𝒆. Remarque : Pour tout nombre réel 𝒙, on a : 𝒆𝟑𝒙+𝟏 = 𝒆𝟑𝒙 × 𝒆. III-B- ln(𝑥 2 ) 𝑥2 Pour tout nombre réel 𝑥 non nul, ln(𝑥2 +4) = ln (𝑥 2 +4). Faux. 𝐥𝐧(𝒙𝟐 ) 𝒙𝟐 Pour 𝒙 = 𝟏, 𝐥𝐧(𝒙𝟐+𝟒) = 𝟎 et 𝐥𝐧 (𝒙𝟐+𝟒) = − 𝐥𝐧𝟓. 𝒙𝟐 Remarque : Pour tout nombre réel 𝒙 non nul, on a : 𝐥𝐧 (𝒙𝟐+𝟒) = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 ) − 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟒). III-C- Pour tout nombre réel 𝑥 positif, 2ln(𝑒 √𝑥 ) = 𝑥. Faux. Pour 𝒙 = 𝟏, 𝟐𝐥𝐧(𝒆√𝒙 ) = 𝟐𝐥𝐧𝒆 = 𝟐. Remarque : Pour tout nombre réel 𝒙 positif,.... »