« Axiomes », « postulats », et définitions en mathématiques

« - I - Les définitions permettent d'identifier les objets mathématiques.

On a distingué deux types de définitions : les définitions analytiques et les définitions génétiques.

1 - La définition analytique est l'énoncé de la propriété essentielle d'un objet mathématique.

Exemple : « Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui-même et par l'unité », Une telle définition permettra de dire de tel nombre proposé, s'il est ou non un nombre premier.

La définition analytique est carac­ térisée par le fait que, plus que l'autre, elle permet l'identification de l'objet mathématique.

2 - La définition génétique permet de construire l'objet mathématique.

Ex.

: • Un cercle est le lieu des points équidistants d'un même point appelé centre •· On voit que toute construction du cercle met en acte cette définition : que ce soit avec un compas, ou avec un fil et deux pointes dont l'une est fixe, on trace le cercle par cette définition.

3 - La vraie définition est créatrice.

Il est difficile, dans certains cas, de distinguer définition analytique (ou essentielle) et définition génétique ; de toutes façons, une définition mathéma­ tique, en arithmétique, en algèbre, en géométrie, en trigonométrie, etc., crée un nouvel objet.

Des multiples définitions que l'on peut donner d'un objet mathé­ matique, une seule est bonne ear les autres la supposent.

Exemple : On peut définir le cercle à partir du cylindre (plan perpendiculaire aux génératrices), du cône (plan perpendiculaire à la hauteur), par l'ellipse (conjonction des foyers), par la sphère (plan sécant quelconque), mais toutes ces formes géométriques sont elles-mêmes construites à partir du cercle et supposent donc une définition du cercle logiquement antérieur~ créant directement son objet.

4- En fait, par la définition, le mathématicien nomme et spécifte une réalité mathématique nouvelle qu'il vient d'inventer.

Le mathématicien créateur, lorsqu'il a inventé un nouvel objet idéal, le caractérise par un nom, par sa propriété essen­ tielle ou par sa loi de construction ; l'inventeur du nombre négatif, le créateur du nombre imaginaire ou celui de l'intégrale ont apporté à la fois un nouveau symbole et une définition de leur objet mathé­ matique.

Mais ce qui est important, c'est que la définition ne se borne pas à spécifier un nouvel objet idéal, elle ouvre un nouveau champ mathématique; elle est la clé d'un domaine que l'analyse et le raison­ nement vont explorer et exploiter, elle est la source d'une nouvelle chatne de théorèmes.

Et ceci explique, comme on le verra à propos des axiomes et des postulats, que les logiciens modernes assimilent la définition au postulat (et à l'axiome) qui, lui aussi, est l'ouverture d'un certain champ mathématique.. »