AXIOMATIQUE
Publié le 06/12/2021
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AXIOMATIQUE_______________________________
Pour rédiger sa géométrie, Euclide commence par définir les termes qu'il va utiliser, poser des axiomes (propositions générales et évidentes), et des postulats ; de là, tous les théorèmes se démontrent
par utilisation des lois logiques. Une telle présentation de la science — la première axiomatique — tend à réduire le rôle de l'intuition, et à faire dépendre la vérité des propositions mathématiques, de leur présentation.
<> L'axiomatique pourrait être le souci d'une rigueur vaine et embarrassante. Vers le milieu du XIXe siècle, on s'aperçoit qu'il est possible de construire, sans contradiction, des théories géométriques niant le postulat des parallèles ; puis on met au jour des faits « tératologiques « : une courbe peut couvrir la surface d'un carré, des courbes continues n'ont pas de tangente en un point. L'intuition ne peut fonder la vérité mathématique ; il s'agit désormais d'expliciter tous les termes, les propositions d'où l'on part (rien n'étant évident, le terme d'axiome recouvre ce qu'Euclide entend par postulat), et les règles de déduction. Un nouveau concept de rigueur se déploie qui, dans tout domaine scientifique, exige une axiomatisation puis une formalisation de cette axiomatisation. Ceci donne lieu à trois types de problèmes :
1 — Etablir les conditions logiques pour qu'une axiomatique soit bien construite (ex. : indépendance des axiomes) ; établir à quelles conditions on est capable de démontrer a priori qu'une axiomatique possède certaines propriétés (ex.: que toutes les propositions vraies y soient démontrables — complétude).
2 — Choisir les axiomes d'une théorie, ce qui en général peut être fait de plusieurs manières ; outre son caractère technique, cette question touche l'ontologie : si deux axiomatiques différentes peuvent être équivalentes, elles n'ont pas le même sens. N'y a-t-il pas là quelque arbitraire mettant en jeu le rapport de la représentation au réel (qu'avait déjà ébranlé la découverte de plusieurs géométries) ?
3 — Comprendre quel est le rôle de l'axiomatisation dans l'histoire d'une science ; la mathématique par exemple est-elle l'infini déploiement des énoncés à partir d'axiomes donnés ou bien l'axiomatique n'est-elle qu'un moment historiquement daté dans un développement discontinu ? Voir Desanti.