AXIOMATIQUE

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Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

La méthode axiomatique consiste à construire un domaine scientifique en choisissant un ensemble fini d'affirmations ou d'énoncés comme éléments de départ les axiomes- à partir desquels par les voies de la logique formelle on déduit toutes les autres propositions vraies-théorèmes- du domaine. Le système d'axiomes doit être exempt de contradictions, aucun axiome ne peut être déduit d'autres axiomes, les axiomes sont nécessaires et suffisants pour la déduction de tous les théorèmes On choisit un ensemble de termes et de symboles de départ correspondant à un certain nombre d'objets sélectionnés pour exprimer le domaine. Ainsi Euclide qui utilisait la méthode axiomatique dans ses « Eléments » utilisait comme termes premiers le point, la droite et le plan. L'axiomatique de la géométrie euclidienne adoptée aujourd'hui, celle de Hilbert, part de six termes premiers : le point, la droite, le plan, l'incidence (être contenu dans), l'ordre (se trouver entre) et la congruence (égalité géométrique). En logique formelle on peut avec Frege construire le calcul des propositions avec les signes fondamentaux de négation, d'implication et de parenthèses. A l'aide des termes fondamentaux on formule un certain nombre d'axiomes. Ainsi Peano (1889) a formulé l'arithmétique des nombres naturels à l'aide de cinq axiomes. Il existe différentes formulations axiomatiques du calcul des propositions. Celle de Hilbert comporte quatre axiomes. La nécessité d'une axiomatisation des mathématiques d'abord, puis de la physique prend sa source au milieu du XIX ème siècle lorsque l'édification de la géométrie non-euclidienne par Gauss, Lobatchevsky et Bolyai a obligé d'abandonner les prétentions à la vérité absolue de la géométrie euclidienne. Dès lors les axiomes mathématiques n'apparaissent plus comme évidents, mais comme des hypothèses dont il faut vérifier que les conséquences sont adaptées à la représentation du monde. Il apparait que l'on peut remplacer le V Postulat d'Euclide sur les parallèles qui semblait la seule vérité objective, par sa négation, et cependant développer logiquement une théorie géométrique à contenu tout aussi cohérent et riche que la géométrie d'Euclide. Dans sa dissertation inaugurale Des hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1867) l'ambition de Riemann est de fournir un cadre mathématique général aux divers phénomènes naturels. En 1899 Hilbert publie ses Grunlagen der Geometrie où il procède à une axiomatisation de la géométrie euclidienne. Cet ouvrage devient aussitôt célèbre et se constitue en charte de l'axiomatisation. Non content de procurer un système complet d'axiomes valides pour la géométrie euclidienne, Hilbert classe ces axiomes en divers groupes de nature différente et s'attache à déterminer la portée exacte de chacun d'entre eux. Les géométries non euclidiennes de Lobatchevsky et de Riemann se présentent alors comme des cas particuliers résultant de la suppression ou de la modification de tel ou tel axiome. Il souligne par là la liberté dont dispose le mathématicien dans le choix de ses hypothèses. Ce point de vue sera adopté de façon à peu près unanime par les mathématiciens et se développera tout au long de la première moitié du siècle, en particulier lors des tentatives de la théorie axiomatique des ensembles pour résoudre la crise de fondements en mathématiques. L'oeuvre de Bourbaki en constituera une illustration majeure, mais l'oeuvre de Gödel marquera un coup d'arrêt à cette tendance générale. La méthode axiomatique qui semble souvent porter tous les espoirs des formalisateurs a subi en 1931 un coup d'arrêt certain lorsque Gödel a démontré ses théorèmes (théorèmes d'incomplétude de Gödel) sur l'incomplétude des systèmes formels, où l'on peut construire des formules qui ne sont pas démontrables dans le système. L'esprit d'axiomatisation défendu par Hilbert porte en lui les deux évènements mathématiques de la seconde moitié du XIX ° siècle. Le développement de théories axiomatiques de la géométrie accompagnant la formulation de géométries non euclidiennes a bouleversé la millénaire axiomatisation d'Euclide. Le développement d'une logique mathématique, une logique des relations, crée un appareil mathématique de la logique qu'Aristote et ses continuateurs médiévaux ne soupçonnaient pas mais dont avait rêvé Leibniz. Là aussi il y a en fait axiomatisation de la logique. Un mariage entre Aristote et Euclide. La dot commune de ce mariage c'est la perte de signification de l'objet au profit d'une signification des relations entre objets. Ainsi Hilbert déclarait dans ses « Fondements de la géométrie » que bien que les termes utilisé fussent « point », « droite », « plan », il pourrait s'agir tout aussi bien de bière, de chaise ou de n'importe quel autre objet, pourvu seulement qu'ils obéissent aux axiomes. L'axiomatisation évacue le sens précis des objets, et produit une structure générale. Un univers du sans objet où ne règnent que les interactions, exemplifié par la télégraphie sans fil naissante. Un univers où la peinture abstraite va s'engouffrer symbolisant un esprit qui dominera tout le XX° siècle.