LES MATHÉMATIQUES (synthèse 2)

Les mathématiques sont « les sciences pures de l'ordre et de la mesure » (Descartes). Elles comprennent la géométrie et la mécanique élémentaires, l'arithmétique et l'algèbre, la géométrie et la mécanique analytiques, la géométrie de position et la théorie des groupes. Une définition mathématique peut être soit descriptive (le cercle est le lieu des points équidistants d'un point fixe), soit constructive (le cercle est la figure engendrée par un segment de droite tournant autour de l'une de ses extrémités) ; si l'objet mathématique est décrit on peut se demander s'il est une chose sensible ou une idée ; s'il est construit on peut se demander si la construction est arbitraire ou nécessaire. De cette conception des définitions, et par suite des postulats, dépendent la nature et la valeur de la méthode mathématique.

I. OBJET DES MATHÉMATIQUES

— A — L'empirisme.
Selon Stuart Mill « les points, les lignes, les cercles, que chacun a dans l'esprit, sont de simples copies des points, lignes, cercles qu'il a connus par l'expérience [...] la géométrie a pour objet les lignes, les angles et les figures tels qu'ils existent et les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives à ces objets naturels ». Il en résulte que les postulats sont « des vérités expérimentales, des généralisations de l'observation ». Par exemple le sixième postulat d'Euclide (deux droites ne peuvent enclore un espace) est une « induction résultant du témoignage de nos sens ». — Si l'on donne aux mathématiques cette origine expérimentale on comprend mal leur certitude apodictique. D'ailleurs « le droit est père du courbe » comme disait Platon, ce qui signifie que les objets réels ne peuvent être le modèle des objets mathématiques.

— B — Le conventionalisme.
Poincaré considère les définitions et les postulats comme de pures conventions : « notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction ». Ainsi s'expliquerait l'existence des géométries non euclidiennes (Lobatchevski, Riemann) et il faudrait dire que : « une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode ». — Si l'on admettait cette thèse de tendance pragmatiste, la part d'arbitraire que renfermeraient nos concepts mathématiques justifierait cette boutade de Bertrand Russel : « les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait pas de quoi on parle ni si ce que l'on dit est vrai ».

— C — Le rationalisme.
Descartes croit que les idées mathématiques sont innées et que nous les trouvons dans notre esprit avec « leurs vraies et immuables natures » (Cf. Platon). — Ce réalisme des idées est bien douteux et Kant cherche à rendre compte de la nécessité et de l'universalité des concepts mathématiques en en faisant des constructions a priori. « Les mathématiques sont, dit-il, une connaissance rationnelle par construction de concepts ». C'est parce qu'une matière nous est donnée a priori (les intuitions pures de l'espace et du temps) que nous pouvons former des concepts qui ne sont ni conventionnels ni empiriques mais a priori, universels et nécessaires. Et il en est de même pour les postulats, jugements synthétiques a priori, qui énoncent les propriétés évidentes que nous constatons appartenir à l'espace. La thèse de Poincaré ne vaudrait que pour les géométries non euclidiennes fondées sur un concept de l'espace auquel ne correspond aucune intuition.

II. LA MÉTHODE DES MATHÉMATIQUES

— A — Le problème.
Si l'on admet, avec Stuart Mill, que les objets mathématiques sont abstraits de l'expérience, la méthode mathématique consistera en une déduction reposant sur des principes expérimentaux et ses conclusions ne pourront avoir une valeur apodictique ; si l'on fait, des concepts mathématiques, de simples conventions ou des réalités intelligibles données, le mathématicien ne pourra qu'analyser ces concepts ; sa méthode sera la déduction formelle ; or celle-ci est rigoureuse, sans doute, mais stérile. Poincaré a bien essayé de décrire sous le nom d'induction complète un raisonnement qui serait à la fois rigoureux et fécond sans être déductif ; mais cette prétendue induction, ordinairement appelée raisonnement par récurrence, est en réalité une suite de déductions et n'a d'ailleurs d'application qu'en arithmétique.

— B — La démonstration mathématique.
En réalité la méthode des mathématiques est une déduction constructive, c'est-à-dire un enchaînement logique de jugements synthétiques a priori rendus possibles par l'existence d'intuitions pures. Le caractère déductif du raisonnement explique sa rigueur et le caractère synthétique des propositions qui le composent explique sa fécondité (Cf. par exemple la démonstration du théorème sur la somme des angles d'un polygone convexe). La déduction formelle intervient parfois dans la démonstration pour appliquer un théorème à un cas particulier, mais il n'y a jamais (l'induction et l'intuition empirique n'intervient qu'à titre de secours pour l'entendement. La démonstration mathématique est donc entièrement a priori et c'est ce qui fait sa certitude.

— C — Différentes formes.
1 — L'analyse remonte de la proposition à démontrer jusqu'à des principes d'où elle pourrait être déduite et dont la vérité est connue ;
2 — L'analyse indirecte ou raisonnement par l'absurde montre que la proposition contradictoire de celle qu'on veut démontrer est fausse parce qu'elle a des conséquences absurdes, et que, par suite, la proposition à démontrer est vraie (sans qu'on sache d'ailleurs pourquoi elle est vraie) ;
3 — La « synthèse » enfin consiste à partir de théorèmes connus et à en déduire des conséquences jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposition à démontrer ; c'est une méthode d'exposition plutôt que de recherche.
Dans tous les cas le raisonnement est une déduction constructive.

CONCLUSION

En un sens les mathématiques sont des sciences autonomes, purement rationnelles. En un autre sens elles sont les premières des sciences de la nature puisqu'elles sont la science des conditions a priori de notre perception des choses. Par là s'explique leur intervention dans les sciences expérimentales.