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La géométrie d'Euclide

 

  • Une démarche hypothético-éducative.


La géométrie d’Euclide part d’un petit nombre de données premières. Ces données sont les définitions (concepts fondamentaux de la géométrie) ; les axiomes (propriétés essentielles appartenant aux grandeurs. Exemple : « le tout est plus grand que la partie ») ; les postulats (propositions concernant les êtres mathématiques proprement dits et affirmant que certaines constructions sont possibles. Exemple : « toute droite peut être prolongée indéfiniment »). Partant de ces données, le géomètre en déduit logiquement d’autres propositions : théorème ou proposition principale ; lemme ou proposition secondaire facilitant la démonstration d’un théorème à venir ; corollaire ou proposition exprimant une conséquence directe d’un théorème établi.

  • Syllogisme et démonstration en géométrie


Si, dans le syllogisme, la conclusion est implicitement contenue dans la prémisse appelée « la majeure » (déduction analytique), dans la géométrie d’Euclide, toute proposition démontrée est synthétiquement construite à partir des prémisses en combinant plusieurs propositions intermédiaires (déduction synthétique). De plus la déduction n’est pas la simple application d’un mécanisme pur car elle exige du géomètre l’invention des moyens termes ou les constructions susceptibles de permettre les combinaisons de concepts utiles à la démonstration. En revanche, de la même manière que, dans le syllogisme, la vérité matérielle de la conclusion est relative à celle de ses prémisses, dans la géométrie d’Euclide, la vérité des propositions démontrées est relative à un point de départ hypothétique (axiomes et postulats).

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