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Géométries euclidiennes et non euclidiennes

  • De la géométrie d’Euclide aux géométries non euclidiennes


Les Anciens essayèrent, en vain, de déduire le cinquième postulat de la géométrie d’Euclide (par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener une seule parallèle à cette droite) des autres postulats. Au début du XXe siècle, Lobatchevsky et Bolyai fondèrent une nouvelle géométrie en partant du postulat que par un point extérieur à une droite donnée on peut mener plusieurs parallèles à cette droite. En 1854, Riemann créa une autre géométrie postulant qu’il n’existe pas de droites parallèles. Si ces géométries sont sans rapport avec notre représentation familière de l’espace, elles n’en sont pas moins légitimes à partir du moment où elles n’impliquent aucune contradiction logique. Ajoutons qu’avec les progrès de l’analyse, apparaissent, dans la seconde moitié du XIXe siècle, des courbes sans tangentes, des courbes remplissant un carré…

  • Axiomatisation des mathématiques


Dès lors, pourchassant l’intuition, les mathématiciens construisent l’édifice mathématique en partant d’axiomes aussi simples et aussi peu nombreux que possible et en enchaînant les propositions en vertu des seules règles de la logique. Parallèlement à cet effort d’axiomatisation des mathématiques, se constitue avec Boole, Peano, Frege une logique enfin capable de formaliser effectivement le discours mathématique. Dès lors, la tâche du mathématicien est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes ni vrais ni faux mais simplement posés. Quant à la validité des démonstrations, elle ne repose plus que sur la structure des énoncés qu’elles contiennent et non sur la nature particulière de ce dont elles parlent. Peu importe, au fond, qu’il s’agisse de nombres, de droites ou de triangles. Comme le constate Bertrand Russell, « les mathématiques pures sont cette discipline où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu’on dit est vrai » (The International Monthly, juillet 1901).

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