Catégorie : Mathématiques
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Limite d'une suite géométrique
" Limite d'une suite géométrique L'essentiel du cours Rappels sur les suites géométriques • La somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique (u) de raison q différente de 1 est égale à : 1- qn. 1 u x--- 0 1- q • Résu ltat intermédiai re pour tout réel q différent de 1, on a : 1 -qn•l 1 + q + ... + q" = ---. 1-q Limite de ·a suite (q) avec q 0 • Premier cas : q est strictement compris entre o et 1 alors lim q" = o....
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Primitives dune fonction sur un intervalle
,.. Primitives d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Défin ition • Soitf une fonction continue sur 1. On dit qu'une fonction F est une primitive de la fonct ionfsur ! lorsque Fest dér ivab le sur I et que sa dérivée est égale àf sur cet intervalle. • Lorsqu'une fonction admet une primitive, on peut en trouver une infin ité. En effet, si on ajoute n'impo rte quel nombre réel à la primitive tro uvée, les dérivées d...
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Loi normale
Loi normale N(µ;
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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
"Continuité et théorème des valeurs intermédiaires L'essentiel du cours Fonction continue t 1p·o1 Soit/ une fonction définie sur un intervalle 1. On dit que la fonction/ est continue sur I lorsque sa cou rbe rep résentative se trac e« sans lever le crayon », è Les fonctions de réfé rence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de défin ition (Vo ir fiche 6], • Les fonct ions constru ites à...
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Les fonctions exponentielles de base q, q>o
,,. Les fonctions exponentielles de base q , q > o L'essentiel du cours Définition Soit q un nombre rée l str ictement positif, on appelle« fonc tion exponentielle de base q » (qui est notée exp q) la fonction qui à tout nombre réel x assoc ie le nombre réel positif q' : X,_. q' = e•lnq. Propriétés algébriques • Quel que soit le nom bre réel x, on a 1' = 1. • Soit q un nombre réel stricteme nt pos itif, on a : -pour tous les nombr...
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Rappels sur les probabilités
Rappels sur les probabilités L'essentiel du cours Définition d'une probabilité • On part d'une expér ience aléatoire E, c'est -à-dire d'une expérience dont on peut prévoir les issues possibles, mais dont on ne conna ît le résultat qu'après sa réalisation. • Première étape : à l'aide d'un arbre, par exemp le, on détermine toutes les issues possibles de l'expérience aléatoi re. On défin it ainsi l'un ivers n comme l'ensemble de toutes les...
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Algorithmique
Algorithmique L'essentiel du cours Qu'est-ce qu'un algorithme? • Un algorithme est une liste d'instructions à suivre pas à pas et qui permettent d'obtenir des résultats à partir de données. • Un algorithme est donc caractérisé par trois blocs: les données, le traitement et les résu ltats. Quelles sont les étapes pour écrire un programme informatique ? Il y a trois étapes principales : -analyser le problème posé, -écr ire un algor i...
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Convexité dune fonction sur un intervalle
~ Convexité d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Définition d'une fonction convexe et d'une fonction concove Soit/ une fonct ion dérivab le sur un intervalle 1 : -On dit qu'une fonction est convexe sur! lors que la cou rbe représentat ive de la fonc tion / est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes . ,1-111~•"'~"'~"-· de b fi:inctJOa C'~bt!k tort h:C'C'S l•~-~OW'lflt11tt.,,~ d,sit':Ul llptnlc,. ta•t-t,;p~d.'.ok'._..,c...
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Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]
"' roi uniforme sur un intervalle [a; b] L'essentiel du cours Loi continue : cos général Définitio n LE COURS À ÉCOUTER • La fonction/ est une fonction de densité sur l'intervalle [a; b] (a< b) si: -la fonction/ est continue sur [a; b]; -la fonction/ est positive sur [a; b]; -f f (x)dx = 1. • Si la variable aléatoire X suit la loi continue de fonction de densité/, alors pour tout inte rvalle [c; d) c [a; b], on a: P(c
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Les fonctions de référence
Les fonctions de référence L'essentiel du cours Fonctions affines Une fonct ion affine est une fonct ion! défin ie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés. La courbe représentative de cette fonction affine est la droite D d'équat ion y= ax + b. Lorsque b = o, c'est-à -dire quandf est définie par f(x) = ax, f est une fonction linéaire. Fonction carré La fonct ion carrée!: x ...... x2 est définie sur l'interva lle ]-oo;...
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La fonction logarithme népérien : propriétés algébriques
'1" La fonction logarithme n ép érien : propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b) (relation fonctionnelle). • Pout tout nombre réel a strictement posit if, on a : 1 ln-=-lna; • aPour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : 1n( ~) = lna -lnb; • Pour tout nombre rée l a strictement positif, on a : ln✓a = ~lna ; 2 • Pour...
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La loi binomiale
La loi binomiale L'essentiel du cours Défin ition d'une loi binomiale • Une épreuve de Bernoull i est une expér ience aléatoire qui conduit à deux issues: réuss ite ou échec. Si p est la probabilité de réussite, la probabilité d'échec est 1 -p. • Lorsq ue l'on répète une épreuve de Bernoull i on obtient un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité de la var iable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle...
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Les suites arithmético-géométriques
~ Les suites aritbmético géométriques L'essentiel du cours Défin tion • On dit qu'une suite (u.) est une suite arithmético· géométrique s'il existe deux rée ls a et b tels que : u0 étant donné, on a: pour tout ent ier n, u •• , =au.+ b. • On peut donc calcu ler chaque terme d'une suite arithmético -géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent. Exemple • En 2000 la populat ion d'une ville éta it de 5 200 hab...
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Les suites arithmétiques
Les suites arithmétiques L'essentiel du cours Monotonie d'une suite • Une suite (u.) est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, on au •• ,;;,, u •. • De façon analogue, une suite (u.) est décroissante lorsque, pour tout entie r naturel n, on a u.,1 ,;;; u •. • Si un.,= u" pour tout entier naturel n. on dit que la suite (u.) est stationna ire. • Dans tous les cas, on étudie le signe de la différence u •• , -u •. • Si la...
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Intégrale d'une fonction sur un intervalle
,.. Intégrale d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Définition • Une intég rale, lorsqu 'elle existe, est une valeur rée lle. • Si une fonction f est continue sur un intervalle [a; b]. alors elle admet une primitive F telle que F'(x) = f(x). On a alors : Jb f(x)dx = [F(x) J = F(b) -F(a). a a Exemples • f,\xdx =[x2J:=2 2-12=4-1=3 . • fc1 3e3' dx = [ e3x J: = el -e0 = el -1 car une primitive de la fonction x - 3e3' est...
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Intégrale et aire
~ Intégrale et aire L'essentiel du cours Aire sous une courbe • Soit/ une fonct ion continue et positive sur un intervalle [a; b], et c1 sa courbe représentative. L'aire du domaine situé entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b est, en unités d'aire, l'intég rale de a à b de la fonction/ notée r f(x) dx. • Dans un repère orthogonal (0, 1, Il. on cons idère le point K (1; 1). Une unité d'aire re...
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Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
"' Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % L'essentiel du cours Qu'est -ce qu 'un intervalle de conf iance , quel lien avec la fluctuation ? Comment sont effectués les sondages ? LE COURS À ÉCOUTER ~~!:l ~ Si l'on che rche un pourcentage au sein d'une popu lation (par exemple lors d'une élection), on constate qu'il est souvent difficile d'interroger toute le monde, on constitue alors un échantillon représentatif (cela sign...
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Intervalle de confiance au seuil de 95 % (2)
~ Intervalle de confiance au seuil de 95 % L'essentiel du cours Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance? Comme nt sont effect ués les son dages ? On a une population dans laquelle on cherche un pourc en· LE COURS À ÉCOUTER tage, par exemple lors d'une élect ion. Il est souvent diffici le d'in terroger toute la population, on constitue alors un échant illon repr ésentati f (le mot représentati f signi fie que l'on va respect er les répa r...
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Dérivée dune fonction
Dérivée d 'une fonction L'essentiel du cours Nombre dérivé d'une fonction en un po int • Si A(a; /(a)} et B(a + h; f(a + h)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction /(a+h) f, alors la droite (AB) a pour coefficient directeur: Ya -Y A = f (a+ h)- f (a) = f(a + h) -f (a) x8-xA (a+h)-a h · • Lorsque B se rapproche de A, ce coefficient directeur se rapproche , en général, d'une valeu r lim ite. On dit alor~ quP l;:...
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Grand oral - Les fractales
Je m’appelle Philomène, et cette année en terminale j’ai suivi les spécialités mathématiques et physique chimie. Aujourd’hui, je vais vous présenter un sujet de mathématiques qui est le suivant : « La nature est -elle fractale ». Je vais commencer par vous éclairer sur la notion de fractale , puis dans une seconde partie je développerai avec le cas de la figure de Mandelbrot, et pour finir j’évoquerai leur présence dans la nature. J’ai dé...