Catégorie : Mathématiques
-
FONCTION EXPO
FONCTION EXPONENTIELLE Connaissances : — Dénition de la fonction exponentielle, comme unique fonc tion dérivable surRvériant f′ = f et f(0) = 1 . L’existence est admise. Notation exp(x ). — Pour tous réels xet y, exp (x + y) = exp(x )exp (y ) et exp (x )exp (− x) = 1 . Nombre e. Notation e x . — Pour tout réel a, la suite (e na )est une suite géométrique. — Signe, sens de variation et courbe représentative de la fon ction exponentielle. I. Dénition et propriétés Théorème Il existe uneunique fo...
-
Chapitre 11 : Probabilités
Cahier de cours Chapitre 11 Chapitre 11 : Probabilités. I. Vocabulaire (rappels) : On lance un dé cubique à 6 faces (comme ce que l’on a fait dans l’activité précédente), et que l’on étudie la face obtenue. Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues (les résultats possibles) sont 1, 2, 3, 4, 5, et 6. Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas donner le résultat mais dot on connaît les résultats possibles que l’on appelle le...
-
Math: Récurrence ; Sommes, produits
Récurrence ; Sommes, produits ECE3 Lycée Carnot27 septembre 2011 Pour ce troisième chapitre, un peu de théorie, puisque celui-ci va nous permettre de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite (ou peut- être devrais-je dire plutôt pour les suites, puisqu'il s'agit du premier thème faisant intervenir de façon assez intensive le symbole somme et les récurrences). 1 Démonstration par récurrence La démonstration par récurrence est un schéma de démo...
-
Maths Expert Nombres Complexes
Tle Option Math. Expertes - 2020-2021 DEVOIR SURVEILLE 01 CORRECTION Page 1 1 Exercice 1 : (6 points) 1. a) Cf. livre p.11, exercice résolu 1. b) Cf. livre p.11, exercice résolu 3. c) Cf. livre p.11, exercice résolu 2. 2. a) 4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 2 1 (2 ) 4 (2 ) 6 (2 ) 4 (2 ) 1 (2 ) z i z i z i z i z i z i 4 3 2 8 24 32 16 z i z z i z . b) 5 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5 2 1 1 (2 ) (-1) 5...
-
La fonction exponentielle : propriétés graphiques
~La fonction exponentielle · propriétés graphiques L'essentiel du cours C'est en recherchant des fonctions dérivables sur !Hl dont la dér ivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle . Celle -ci joue un rôle capital en mathématiques car c'est une fonction de référence. Définition • La fonction exponentielle (x ...... e' = exp(x)) est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nom...
-
Les pourcentages
Les pourcentages L'essentiel du cours Utiliser un pourcentage • Prendre t % d'un nombre x, c'est multiplier x par _t __ 100 Ainsi, si un prix HT est de 330 € et que le taux de TVA est de 5,5 %, le montant de la TVA est« 5,5 % de 330 »,c'est-à-dire~ x 330 = 18,15 €. 100 • Si le nomb re y représente t % de x, on a : x x _t_ = y
-
Raisonnement mathématique
Raisonnement mathématique L'essentiel du cours Quantificateurs « Quel que soit » et « Il existe » • l'égalité (x + 2)(x -1) = x2 + x -2 est vraie quel que soit le nombre réel x, c'est · à-dire qu'en remplaçant x par n'importe quel nombre réel dans le membre de gauche et dans le membre de droite, on obtient le même résultat. Pour le prouver, on développe le membre de gauche. «Quelque soit» est un quantificateur universel. • L'éga...
-
Position relative de fonctions
JI" Position relative de fonctions L'essentiel du cours La fonction exponentielle Pou r tout nombre réel x, on a e' > x. ) La fonction logarithme népérien Pour tout nombre réel x, on a lnx < x. ·2 .1 ., , ' ) X
-
-
Loi normale centrée réduite N(o ; 1)
,,. Loi normale centrée réduite N(o; 1) LE COURS À ÉCOUTER L'essentiel du cours Définition Une variable aléatoire de fonction de densité f suit la loi norma le centrée réduite , notée N(o ; 1), lorsque f (x) = JJ; e < sur ~- Représentation graphique de la fonction de densité f · · • • 112 • • • ,. • • ____ '_ _, ____ '-! _1 _ _ _ 1 1 !. _1 .1 1 L J L .J •-L J _; __ ~~-~~-:..:~-~~-:-T•••.--.- i1 •i• 0) = P(X ;;, o) = o,s. --- --- --
-
Polynômes du second degré
Polynômes du second degré L'essentiel du cours Solutions d'une équation du second degré Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écr itur e de la forme ax' + bx + c = o avec a ,t; o. On calcule alors le disc riminant t,. (delta) : t,. = b2 -4ac. Tro is cas peuvent se produire : -si t,. < o, l'équation n'a pas de solution; -si t,. = o, l'équation a une unique solution...
-
La fonction exponentielle : propriétés algébriques (2)
"'La fonction exponentielle · propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pou r tous les nombres réels x ety, on a : e' x eY = e••Y (rela tion fonction nelle). X • Pour tous les nombres rée ls x et y, on a : .:.._ = e•-y. eY • Pour tout nombre réel x, on a 2. = e-x e' X • Pour tou t nombre réel x, on a: e2 = N . • Pour tout nombre réel x et pour tou t entie r n, on a: (e'f=en x_ -2X+ 3 -2x 3 ( -x )2 3 1 3 e Exemples ( )2...
-
Valeur moyenne d'une fonction
'T Valeur moyenne d 'une fonction L'essentiel du cours • La valeur moye nne d'une fonction f sur un intervalle [a; b] est éga le au rée l:µ= -1-J b f(x)dx. b-a o Exemples • Soit la fonction f: x.....,. e" défin ie et continue sur IR. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [o; 2] est µ = _1_f2 e2x dx = ~[~e 2•]2 = ~ (e• -eo) = e• -1_ 2-0 0 2 2 0 4 4 • Soit la fonc tio n g : x,.... 3x2 + 2X défin ie et continue sur R La valeur moyenne...
-
Les suites géométriques
Les suites géométriques L'essentiel du cours Définition d'une suite géométrique • Une suite est dite géométri que lorsque l'on peut déduire chaque terme du précédent en le multiplia nt par un réel consta nt. Elle est donc géométr ique s'il existe une consta nte q telle que , pour tou t entier naturel n, un., = un" q. La const ante réelle q est appelée la raison de la suite. • Pour démontrer qu'une suite (u.) est géo métri que, on montre que,...
-
La fonction logarithme népérien : propriétés graphiques
"' La fonction logarithme nép érien : propriétés graphiques L'essentiel du cours Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est la seule fonction définie sur l'int ervalle ]o ; +oo(, qui à tout réel strictement posit if associe l'unique sol utio n de l'équation d'inconnue y: eY = x. On note cette solut ion y= ln x. Conséquences • Quel que soit le nombre rée l x str ictem ent positif , on a : -pour tout nombre rée l y: eY = x si et...
-
Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles L'essentiel du cours Définition d'une probab ilité conditionnelle Lecture d'un arbre • On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de proba - bilités non nulles. L'évé nement A est réalisé puis l'événement B. On peut visualiser la situa tion en utilisant un arbre pondéré. • La probab ilité de l'événement « 8 sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) peut se calcule...
-
Limite d'une suite géométrique
" Limite d'une suite géométrique L'essentiel du cours Rappels sur les suites géométriques • La somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique (u) de raison q différente de 1 est égale à : 1- qn. 1 u x--- 0 1- q • Résu ltat intermédiai re pour tout réel q différent de 1, on a : 1 -qn•l 1 + q + ... + q" = ---. 1-q Limite de ·a suite (q) avec q 0 • Premier cas : q est strictement compris entre o et 1 alors lim q" = o....
-
-
Primitives dune fonction sur un intervalle
,.. Primitives d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Défin ition • Soitf une fonction continue sur 1. On dit qu'une fonction F est une primitive de la fonct ionfsur ! lorsque Fest dér ivab le sur I et que sa dérivée est égale àf sur cet intervalle. • Lorsqu'une fonction admet une primitive, on peut en trouver une infin ité. En effet, si on ajoute n'impo rte quel nombre réel à la primitive tro uvée, les dérivées d...
-
Loi normale
Loi normale N(µ;
-
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
"Continuité et théorème des valeurs intermédiaires L'essentiel du cours Fonction continue t 1p·o1 Soit/ une fonction définie sur un intervalle 1. On dit que la fonction/ est continue sur I lorsque sa cou rbe rep résentative se trac e« sans lever le crayon », è Les fonctions de réfé rence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de défin ition (Vo ir fiche 6], • Les fonct ions constru ites à...
-
Les fonctions exponentielles de base q, q>o
,,. Les fonctions exponentielles de base q , q > o L'essentiel du cours Définition Soit q un nombre rée l str ictement positif, on appelle« fonc tion exponentielle de base q » (qui est notée exp q) la fonction qui à tout nombre réel x assoc ie le nombre réel positif q' : X,_. q' = e•lnq. Propriétés algébriques • Quel que soit le nom bre réel x, on a 1' = 1. • Soit q un nombre réel stricteme nt pos itif, on a : -pour tous les nombr...