AXIOME

Du grec axiôma, « ce qui mérite », puis « principe évident ». En mathématiques, proposition indémontrable placée en tête d’un raisonnement qui permet la déduction des autres propositions du système.

• Longtemps, le statut d'axiome a été réservé à des énoncés qui étaient par eux-mêmes si évidents qu'ils semblaient ne pas avoir besoin d'être démontrés (c’était le cas, par exemple, des axiomes de la géométrie euclidienne). • Depuis que les mathématiques ont été formalisées (fin du XIXe siècle), l'axiome n'est plus qu'une simple convention posée à titre d'hypothèse.

AXIOME, n.m. (gr. axiôma «dignité», «valeur»). ♦ 1° Sens classique, depuis Aristote. Principe de base d’un raisonnement, qui est saisi dans l’évidence («Le tout est plus grand que la partie»). ♦ 2° Kant. «Axiomes de l’intuition» (sensible), qui concernent la quantité (ex. : tous les phénomènes sont des grandeurs extensives) ; ces principes sont nécessaires à toute expérience. ♦ 3° Sens moderne, en théorie mathématique : principe de base posé à l’origine d’un secteur (par ex. de la «théorie des ensembles»), que ce principe soit ou non évident.

axiome, proposition évidente par elle-même. — Se distingue du postulat, qui est simplement posé sans être évident. » Il n'y a plus d'axiome dans la mathématique moderne » (Legendre) et la valeur des principes se mesure à la richesse des conséquences.

AXIOMATIQUE, AXIOME

♦ Au sens classique, un axiome est une proposition indémontrable parce que évidente et admise comme point de départ d’un raisonnement, en particulier en mathématiques. Dans ce domaine, on range l’axiome, aux côtés des postulats et des définitions, parmi les propositions premières. ♦ Pour les mathématiciens modernes, le terme englobe désormais toute proposition, évidente ou non, posée sans démonstration au début d’un système hypothético-déductif - par exemple, un des cinq axiomes énoncés par Peano pour (re)construire toute l’arithmétique classique pose que « Quel que soit x, il existe un nombre x + 1 que l’on appelle suivant de x ». ♦ On appelle axiomatique l’ensemble des axiomes admis au début d’un système hypothético-déductif.

AXIOME - AXIOMATISER

1. Axiome : proposition ou principe évident non démontrable (« le tout est plus grand que la partie » est un axiome selon Euclide).

2. Axiome : proposition indémontrable placée en tête d’une théorie déductive (l’axiome peut être une définition ou une règle opératoire).

3. Axiomatiser : présenter un système hypothético-déductif (mathématique) en le vidant de tout contenu empirique. (Ainsi, au lieu de parler des points A, B, C, on dira des éléments désignés par A, B, C.)

AXIOME (n. m.) 1. — (Tradit.) Proposition gén., évidente et première (c.-à-d. indémontrable) d’où part la démonstration ; pour Euclide, Syn. de notions communes ; opposé à postulat. 2. — (Auj.) Toute proposition indémontrable dans une théorie déductive, et nécessaire à la déduction des autres propositions de la théorie. 3. —Axiomatique : une théorie déductive est présentée sous forme axiomatique, si les termes premiers à l’aide desquels les autres sont définis, les propositions premières à l’aide desquelles on se propose de démontrer les autres, et les règles de démonstration sont explicitement énoncés, et si seuls ces termes, propositions et règles interviennent dans la démonstration ; une théorie axiomatique peut être formalisée, c.-à-d. rendue indépendante de la signification concrète des termes ; axiomatiser une science consiste à l’exposer sous forme axiomatique, ce qui suppose le choix d'axiomes et le respect de certaines lois logiques (indépendance et non contradiction des axiomes). 4. — Axiomes de l'intuition : pour Kant, principe de l’entendement pur (règle de l’usage objectif des catégories) concernant la quantité et selon lequel tous les phénomènes au point de vue de leur intuition sont des grandeurs extensives.